平均と単位量あたりの大きさでつまずく子への、家庭でできる教え方 ― 別々に覚えず「ならす」1本にそろえる

2つの単元は、同じことを言っている

5年生の算数で、平均と単位量あたりの大きさは別々の単元として出てきます。子どもは別々に覚えようとして、公式が2つに増えたところで混ざります。「平均は÷だっけ×だっけ」「混んでるほうって数が大きいほう?」——ここで止まります。

ところが、2つがやっていることは同じです。でこぼこをならして、1つぶんの大きさをそろえる。 平均は「ばらばらの数をならす」、単位量あたりは「大きさのちがうものをならして比べる」。ならすという1本にそろえると、覚えることは1つで済みます。

ですから家庭では、公式を2つ暗記させないでください。先に渡すのは「ならす＝わり算」という一言です。

平均は「合計 ÷ 個数」、逆向きも同じ式で解く

平均の式は1本だけです。合計 ÷ 個数 ＝ 平均。

• テストが 80点・65点・90点・85点：合計は 320 点。個数は 4。320 ÷ 4 ＝ 80 点。

つまずくのは、ここから先の「逆向き」の問題です。「次で何点とれば平均82点になる?」 という聞かれ方をすると、多くの子が手を止めます。

新しい式は要りません。合計 ＝ 平均 × 個数 に戻すだけです。

• 5回で平均82点にしたい → ほしい合計は 82 × 5 ＝ 410 点。
• いまの4回の合計は 320 点。
• 410 − 320 ＝ 90 点。次に90点とればよい。

この順番——①ほしい合計を作る ②今の合計を引く——は、平均の逆向きの問題すべてに効きます。家庭では、答えが合っているかより「ほしい合計はいくつ?」と最初に聞けたかを見てください。そこさえ出れば、あとは引き算です。

0点は数に入れる。休んだ日は入れない

平均でいちばん多いまちがいは、計算ではなく「いくつで割るか」です。ここだけは、言葉で決めておきます。

• 0 も1つとして数える。 3日間の読書が 12ページ・0ページ・21ページなら、合計 33 ページを 3 で割って 11 ページ。0の日を抜いて 33 ÷ 2 ＝ 16.5 とするのはまちがいです。0ページ読んだ、という日がちゃんとあったからです。
• 休んで測っていない日は、数に入れない。 こちらは「無かった」ので、個数からも外します。

「0」と「無し」はちがう——この区別が、平均のつまずきのほとんどです。子どもが割る数をまちがえたときは、計算を直す前に「その日は0だったの? 測ってないの?」と聞いてください。

もう1つ、伝えておくとよいことがあります。平均は、実際にはない数になってよいということです。4つの家庭の子どもの人数が 1人・2人・2人・4人なら、9 ÷ 4 ＝ 2.25 人。「2.25人なんて変だ」と言われたら、「ならしたらこのくらい、という目安の数だから」で十分です。

単位量あたりは、比べ方を先に1つ決める

単位量あたりの大きさは、大きさのちがうものを比べるための道具です。教室の混み具合で見てみます。

• A教室：20㎡ に 16人
• B教室：32㎡ に 20人

面積も人数もちがうので、そのままでは比べられません。そこで1あたりに直します。直し方は2通りあります。

• 1㎡あたりの人数(人数 ÷ 面積)：A は 16 ÷ 20 ＝ 0.8 人。B は 20 ÷ 32 ＝ 0.625 人。大きいほうが混んでいるので、A。
• 1人あたりの面積(面積 ÷ 人数)：A は 20 ÷ 16 ＝ 1.25 ㎡。B は 32 ÷ 20 ＝ 1.6 ㎡。小さいほうが混んでいるので、A。

どちらで比べても答えは A で同じです。ここが大事なところで、正解の出し方は1つではありません。にもかかわらず子どもが混乱するのは、途中で比べ方を乗りかえてしまうからです。Aは1㎡あたり、Bは1人あたりで出して並べれば、当然かみ合いません。

ですから手順を固定します。①どちらの「1あたり」で比べるかを先に決めて書く ②両方とも同じやり方で出す ③大きいほうが混んでいるのか、小さいほうが混んでいるのかを言葉で言う。

③を省かないでください。数は正しく出せたのに、最後の向きだけまちがえて×になる子がとても多いところです。「1人あたりの面積がせまいほうが混んでいる」と口に出せれば、それで防げます。

人口密度は、単位量あたりに名前がついただけ

社会科でも出てくる人口密度は、新しい計算ではありません。1km²あたりの人数、つまりさっきの「1㎡あたりの人数」と同じ形です。

• 人口 45000人・面積 90km² の町：45000 ÷ 90 ＝ 500 人/km²。
• 人口 72000人・面積 120km² の町：72000 ÷ 120 ＝ 600 人/km²。

人口も面積も後の町のほうが大きいのに、混んでいるのも後の町です。「人口が多い＝混んでいる」ではないことが、この2つを並べるとはっきりします。

逆に、人口が多くても面積がうんと広ければ密度は下がります。2つの数のうち片方だけを見て決めない——これが単位量あたりを学ぶ理由そのものです。

つまずきやすい4つの型と、その手当て

• ①平均で、割る数をまちがえる：手当ては「0だったのか、測っていないのか」を聞くこと。0は数に入れ、測っていない日は外します。
• ②平均の逆向きで手が止まる：手当ては「ほしい合計はいくつ?」を先に言わせること。平均 × 個数 で合計を作れば、あとは引き算です。
• ③単位量あたりで、割る向きが逆になる：手当ては単位を先に書かせること。「1㎡あたりの人数」を出すなら答えは人数なので、人数 ÷ 面積。求めたいものの名前が、そのまま割られる数です。
• ④出した数の、大小の向きをまちがえる：手当ては言葉で1回言わせること。「1人あたりの面積は、せまいほうが混んでいる」。ここを飛ばすと、計算が合っていても答えが逆になります。

4つを一度に直そうとしないでください。1回の見直しであつかうのは1つだけです。答案を並べると、多くの子は①②のどちらか(平均側)か、③④のどちらか(単位量側)に固まっています。

家庭では、レシートと部屋で足ります

• 100gあたりで比べる。 「300gで480円のお肉と、200gで340円のお肉、どっちが得?」。480 ÷ 3 ＝ 160 円、340 ÷ 2 ＝ 170 円。100gあたりが安いのは前のほうです。値段だけを見ると後のほうが安く見えるので、1あたりに直す意味がその場で伝わります。
• 今週の平均を出す。 勉強した時間でも、歩いた歩数でもかまいません。「やらなかった日は0分として数える」を必ず入れてください。0を数に入れる練習が、そのまま①の手当てになります。
• 部屋の混み具合を比べる。 家族が集まっている部屋と、そうでない部屋。だいたいの広さで十分です。「1人あたり何畳か」を出して、せまいほうが混んでいる、と言わせます。

どれも1回1分で終わります。毎日でなく、買い物のたび・週末に1つで十分です。ここで身につく「1あたりに直してから比べる」は、このあとの速さ(1時間あたりに進む道のり)や割合に、そのままつながります。

やり方は、短く残しておく

平均も単位量あたりも、一度分かればむずかしくない代わりに、しばらく使わないと割る向きから抜けます。テスト前に思い出せるよう、今回うまくいった手順を一行だけ残しておいてください。「平均は合計÷個数、0の日も数える」「逆向きは、ほしい合計を先に作る」「単位量あたりは、比べ方を先に決めて、最後に大小の向きを言う」——この3行で足ります。

ノートの端でも、ふりかえりのアプリでもかまいません。大事なのは、次に同じ形で落としたときに思い出せる形で残っていることです。

まとめ

平均と単位量あたりの大きさは別の単元に見えますが、どちらも「ならす」＝わり算です。平均は 合計 ÷ 個数(80・65・90・85 なら 320 ÷ 4 ＝ 80点)、逆向きに聞かれたら 平均 × 個数 でほしい合計を作ってから今の合計を引きます(5回で平均82点なら 82 × 5 ＝ 410、410 − 320 ＝ 90点)。割る数をまちがえないために、0の日は数に入れ、測っていない日は外します。単位量あたりは、比べ方(1㎡あたりの人数か、1人あたりの面積か)を先に1つ決めて両方を同じやり方で出し(20㎡16人は 0.8人/㎡・1.25㎡、32㎡20人は 0.625人/㎡・1.6㎡でどちらでもAが混んでいる)、最後に大小の向きを言葉で言います。人口密度も同じ形で、人口が多い町が混んでいるとは限りません。つまずきは4つの型に分かれるので、1回に1つずつ手当てします。練習はレシート1枚と部屋1つ、1分で足ります。