「面積の公式」が覚えられない子への、家庭でできる教え方 ― 4つ覚えるのではなく、「長方形に直す」1つの動きにする

公式が4つに見えているうちは、ぜったいに混ざる

面積でつまずく子の答案を見ると、計算そのものはできています。まちがっているのは、たいていどの式を使うかと÷2 をつけるかどうかの2か所だけです。

理由ははっきりしています。小4で「たて×よこ」を習ったあと、小5で平行四辺形・三角形・台形・ひし形の面積が、ひと月たらずのあいだに立て続けに出てくるからです。子どもの頭の中には、こう並びます。

• 平行四辺形 … 底辺×高さ
• 三角形 … 底辺×高さ÷2
• 台形 … （上底＋下底）×高さ÷2
• ひし形 … 対角線×対角線÷2

似た形の式が4本。どれも「×高さ」で、そのうち3本に「÷2」がついている。これを4つの別々のことがらとして覚えようとするから、テストで「÷2 がついていたのはどれだっけ」になります。覚える量が多いのではなく、覚え方の単位がまちがっているのです。

だから家で最初に渡すのは、5本目の公式ではなく、この一言です。

面積の公式は4つもない。長方形が1つあるだけで、あとは「長方形に直す動き」が3つあるだけ。

この見方に切りかえると、÷2 は暗記するものではなく「2つ合わせたから、半分にもどす」という手順の跡になります。理由のある数字は、忘れてもその場で出てきます。

出発点 ― 「たて×よこ」は公式ではなく、ますの数え方

小4で習う長方形の面積は、じつは公式を覚える話ではありません。1辺が1cmの正方形（1cm²）が、何こ分あるかを数えているだけです。

たて3cm・よこ4cm の長方形なら、1列に1cm²のますが4こ、それが3列。だから 4×3＝12 で 12cm²。九九そのものです。方眼紙にかいて実際に数えさせると、5秒で納得します。

ここで大事なのは、正方形の公式を別に覚えさせないことです。「1辺×1辺」は、たてとよこがたまたま同じ長方形というだけで、新しい式ではありません。公式の本数は、この時点ではまだ1本です。

そして、面積という言葉の意味もここで固めておきます。面積は「広さ」＝中身。まわりの長さは「へりの長さ」＝外まわり。この2つを混ぜる子はかなり多く、しかも高学年まで残ります。「ますが何こ分か（中）」と「ひもで囲むと何cmか（外）」と言い分けるだけで、だいぶ減ります。

平行四辺形 ― はしを切って、反対がわへ移すと長方形になる

1つめの「動き」です。平行四辺形を、高さに沿ってまっすぐ1回だけ切ります。左はしに出る三角形を切りはなして、そのまま右はしへ移動させると ― ぴったり長方形になります。

切って動かしただけなので、広さは1mmも変わっていません。できあがった長方形の「よこ」は元の底辺、「たて」は元の高さです。だから、

平行四辺形の面積 ＝ 底辺 × 高さ。÷2 はつきません。長方形そのものになったのだから、半分にする理由がないのです。

ここで必ず言っておくことが1つあります。ななめの辺（となりの辺）は、面積の計算にいっさい使いません。平行四辺形の問題で、5cm と書かれたななめの辺をそのまま掛けてしまう ― これが小5で最も多い誤答です。使うのは底辺と、それに垂直な高さの2つだけ。図に数字が3つ書いてあったら1つは使わない数字だと先に伝えておくと、引っかかりにくくなります。

三角形 ― もう1つ作って、さかさに合わせる

2つめの「動き」です。同じ三角形をもう1枚用意して、180度くるりと回して元の三角形に合わせます。すると平行四辺形ができます。

その平行四辺形の面積は、さっきの通り 底辺×高さ。いま合わせたのは同じ三角形2枚ですから、三角形1枚はその半分です。

三角形の面積 ＝ 底辺 × 高さ ÷ 2。

÷2 の正体は「半分にする公式」ではなく、2枚合わせて1つの四角形にしたから、1枚にもどしているだけです。子どもに「なんで2で割るの？」と聞かれたら、答えを言うかわりに「いま何枚使った？」と聞き返してください。「2枚」と答えられれば、÷2 はもう忘れません。

台形 ― 同じやり方で、底辺が「上底＋下底」になる

3つめの「動き」は、三角形とまったく同じです。同じ台形をもう1枚、180度回して横につけます。すると、やはり平行四辺形ができます。

ちがうのは、できた平行四辺形の底辺です。元の台形の上底と下底が一直線にならぶので、底辺は（上底＋下底）になります。高さは変わりません。

だから2枚ぶんの面積は （上底＋下底）×高さ。台形1枚はその半分で、

台形の面積 ＝（上底＋下底）× 高さ ÷ 2。

÷2 の理由は三角形とまるごと同じ「2枚合わせたから」です。三角形と台形の ÷2 を、同じ1つの理由でまとめられるのが、この教え方のいちばんの収穫です。

ついでに「上底・下底」も片づけておきます。これは上と下の位置の話ではなく、平行な2本の辺のことです。図が横向きに出れば、上底は左にきます。そして式は足し算なので、どちらを上底と呼んでも答えは同じです。ここを言っておくと、向きの変わった問題で手が止まりません。

ひし形 ― まわりに長方形をかくと、ちょうど半分

4つめの「動き」だけは、少し毛色がちがいます。ひし形の2本の対角線に沿って、外がわに長方形をかきます。たてが対角線の1本、よこがもう1本の長方形です。

このとき、ひし形はその長方形のちょうど半分になります（はみ出した4つの三角形が、ひし形の中の4つとぴったり同じ大きさになるからです）。だから、

ひし形の面積 ＝ 対角線 × 対角線 ÷ 2。

ここでも ÷2 は「大きい四角形を作ってから、半分にもどした」跡です。÷2 がつくのは、いちど大きな四角形を作ったとき ― 三角形・台形・ひし形はぜんぶこれです。長方形と平行四辺形は直しただけで大きくしていないから ÷2 がつかない。ここまで並べれば、4本の式は1つの見分け方になります。

• ÷2 がつかない：長方形・正方形・平行四辺形 ＝ 切って動かしただけ
• ÷2 がつく：三角形・台形・ひし形 ＝ 2枚ぶん（倍の大きさ）にしてから、もどした

全部をこわす一点 ― 「高さ」は、底辺に垂直な線

ここまでの4本が言えるのに点が取れない子は、ほぼ高さの取りちがえです。図がかたむいたとたん、子どもはとなりの辺を高さとして使います。

高さは辺ではありません。底辺に直角にぶつかる線の長さです。だから手順を、次の順番に固定します。

• 1. まず底辺を1本決める（どの辺を選んでもかまいません）
• 2. その底辺に直角な線をさがす（三角定規のかどを当てると確実です）
• 3. その2つだけを掛ける（残りの数字は使いません）

「どの辺を底辺にしてもいい」ことは、ぜひ一度たしかめさせてください。三角形で底辺を変えると高さも変わりますが、掛け算の答えは必ず同じになります。これを見ると、底辺と高さが必ずペアで動くことが腑に落ちます。

もう1つ、高学年で必ず出るのが高さが図の外に出る三角形です。大きく開いた角をもつ三角形では、底辺をまっすぐ延長した先に、点線で高さがかいてあります。これは「図がおかしい」のではなく正しい高さです。「底辺は、のばしてよい」と知っているかどうかだけの差なので、家で1回見せておけば十分です。

つまずきやすい4つのポイント

• 1. ななめの辺を高さに使う：平行四辺形・三角形でいちばん多い誤答です。図に数字が3つあれば1つは使わない数字。底辺を決め、直角にぶつかる線だけを高さにします。
• 2. ÷2 のつけ忘れ・つけすぎ：暗記ではなく「いま何枚合わせた？」で判断します。2枚合わせて四角形にしたなら ÷2、切って動かしただけなら ÷2 なし。
• 3. 単位が cm のまま：長さが cm なら面積はcm²です。そして1m²＝10000cm²（100cm×100cm なので、100倍ではなく10000倍）。長さが100倍なら面積は10000倍という、この「2回かかる」感覚が単位換算の山場です。ほかに 1a＝100m²、1ha＝10000m²＝100a、1km²＝1000000m²。
• 4. 面積とまわりの長さの混同：「広さ（中身）」と「へりの長さ（外まわり）」。まわりの長さを聞かれているのに面積を出す取りちがえは、高学年でも起きます。問題文の「まわりの長さ」だけ先に丸で囲ませると減ります。

家でできる確かめ方 ― 紙とはさみで10分

必要なのは方眼紙（なければコピー用紙）とはさみ、それに定規だけです。公式を言わせる時間はゼロで、切って動かすところだけをやります。

• 平行四辺形を1つ切り出す：方眼紙に平行四辺形をかいて切りとる。高さのところで1回だけ切って、出てきた三角形を反対がわへ移す。「長方形になった」と口に出させます。
• 三角形を2枚作る：同じ三角形を2枚切り出し、1枚を180度回して合わせる。「何ができた？」→「平行四辺形」。「何枚使った？」→「2枚」。この2問だけで ÷2 が入ります。
• 台形も2枚：同じ台形を2枚切り出して回して合わせる。底辺のところに定規を当てて「上底と下底が1本につながった」ことを指で追わせます。
• 底辺を変えてみる：さっきの三角形で、底辺をちがう辺にして高さを測り直し、もう一度計算。答えが同じになることを自分で確かめさせます。
• 1m²を床に作る：新聞紙を並べて1辺1mの正方形を作り、その中に1cm²がいくつ入るかを考えさせる。「100こ？」と言ったら、たてに100・よこに100で10000こ。単位換算の山は、ここで越えられます。

声かけは「公式は？」ではなく、「どう直したら長方形になる？」の一本にします。公式を聞くと思い出し競争になりますが、直し方を聞くと、子どもは手を動かして自分で式にたどり着きます。

よくある質問

Q. 公式を丸暗記させてはいけませんか？

A. 暗記そのものは悪くありません。速く解くには、結局おぼえている必要があります。問題は暗記しかない状態で、そうなると忘れた瞬間に0点になり、÷2 の有無も確かめようがありません。作り方を1回だけ手で通してから暗記するのが近道です。作り方を知っていれば、テスト中に忘れても2分で復元できます。

Q. 高さが図の外に出ている三角形が解けません。

A. 「底辺はのばしてよい」と知らないだけ、ということが多いです。底辺をまっすぐ延長した線に、外から直角に下ろした点線が高さです。図をなぞって、直角の印を自分で書き入れさせると一度で通ります。公式のほうは何も変わりません。

Q. 面積と、まわりの長さをいつも取りちがえます。

A. 言葉の意味が体に入っていないサインです。面積＝中をぬりつぶす／まわりの長さ＝へりを指でなぞると、2つの動作に結びつけてください。問題文を読むときに「広さ」か「まわり」かを先に丸で囲む習慣をつけると、式を立てる前にまちがいが止まります。

Q. 小6の円の面積にもつながりますか？

A. まっすぐつながります。円の面積（半径×半径×3.14）も、教科書では円を細かく切って交互に並べかえ、長方形に近づけるという同じ手口で出してきます。「長方形に直す」という見方をここで作っておくと、小6でもう一度ゼロから覚え直す必要がなくなります。

まとめ

面積の公式が覚えられないのは、4つを別々のこととして持っているからです。本体は長方形の「たて×よこ」1本だけで、残りは長方形に直すための動きにすぎません。平行四辺形ははしを切って移す（だから÷2なし）、三角形と台形は同じものを2枚合わせて平行四辺形にする（だから÷2）、ひし形はまわりに長方形をかく（だから÷2）。÷2 の有無は「いま何枚合わせたか」だけで決まります。そして最後に全部をこわすのが高さで、高さは辺ではなく、底辺に直角な線 ― ななめの辺は使いません。方眼紙とはさみ10分で、このうち3つはその場で目に見えます。